Родился 4 ноября 1915 г. в с. Бредихино ныне Новосильского района Орловской области в семье крестьянина. Работал трактористом в машинно-тракторной станции (МТС).
Призван в Красной армию в 1936 г., участник Великой Отечественной войны с августа 1941 г. В феврале 1945 г. батальон под командованием Акишина, овладев плацдармом под г. Шнайдемюль (Польша), удерживал его до прихода своих частей в течение двух суток. Был ранен, но не покинул поле боя.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 февраля 1945 г. «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство» капитану Акишину Н. А. присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 5921). После окончания войны продолжил военную службу.
Уволился в запас в 1960 г. в звании майора и, заключив договор, начал работать начальником участка дорожно-строительного управления в Сусуманском районе Магаданской области. Погиб при исполнении служебных обязанностей. Похоронен в пос. Большевик.
Награжден орденами Ленина, Красного Знамени, Отечественной войны I степени, Красной Звезды, медалями.
Герои Отечества. Колыма и Чукотка : Герои Совет. Союза, Герои России и полные кавалеры ордена Славы ; Герои Социалист. Труда и полные кавалеры ордена Трудовой Славы : биобиблиогр. справ./ М-во культуры итуризма Магадан.обл.,Магадан.обл. универс. науч. б-ка им. А. С. Пушкина ; [сост. И. М. Морякова ; редкол.: О. А. Толоконцева (отв. ред.), С. П. Ефимов, С. И. Симонова]. – Магадан : Охотник, 2015. – С.37