Алексей Викторович Куров родился 14 февраля 1980 году в селе Татево Оленинского района Тверской области. Окончил школу в родном селе.
В 2000 году призван на срочную службу в Вооруженные силы Российской Федерации. Служил в 201-й мотострелковой дивизии на таджикско-афганской границе. После основного армейского срока заключил военный контракт, в звании прапорщика служил вплоть до 2005 года.
В начале 2006 года переехал в город Магадан. Трудился электриком и сантехником.
В сентябре 2022 года был мобилизован и направлен командиром стрелкового отделения в 114-й гвардейский мотострелковый полк.
Погиб 21 июля 2023 года.
За мужество, проявленное в ходе специальной военной операции, Алексей Викторович Куров Указом Президента Российской Федерации удостоен государственной награды – ордена Мужества (посмертно).
На здании Татевской школы в Оленино Тверской области открыта мемориальная доска герою.
Куров Алексей Викторович // Колымчане – кавалеры ордена Мужества : биобиблиографический справочник / Модельная Центральная городская библиотека им. О. Куваева МБУК г. Магадана «Централизованная библиотечная система» ; [автор-составитель Р. Е. Фирсов]. – Магадан : Охотник, 2024. – С. 60 : портр.
Двоих магаданцев посмертно наградили орденом Мужества. – Текст. Изображение : электронные // Мэрия города Магадана : [сайт]. – URL: https://magadangorod.ru/press/news/?id_4=86414 (дата обращения: 31.03.2025).
Под Оленино открыта памятная доска погибшему в зоне СВО Алексею Курову. – Текст. Изображение : электронные // Аргументы и факты. Тверь : [сайт]. – 2024. – 22 февраля. – URL: https://tver.aif.ru/society/persona/pod_olenino_otkryta_pamyatnaya_doska_pogibshemu_v_zone_svo_alekseyu_kurovu (дата обращения: 31.03.2025).