Алексей Викторович Куров родился 14 февраля 1980 году в селе Татево Оленинского района Тверской области. Окончил школу в родном селе.
В 2000 году призван на срочную службу в Вооруженные силы Российской Федерации. Служил в 201-й мотострелковой дивизии на таджикско-афганской границе. После основного армейского срока заключил военный контракт, в звании прапорщика служил вплоть до 2005 года.
В начале 2006 года переехал в город Магадан. Трудился электриком и сантехником.
В сентябре 2022 года был мобилизован и направлен командиром стрелкового отделения в 114-й гвардейский мотострелковый полк.
Погиб 21 июля 2023 года.
За мужество, проявленное в ходе специальной военной операции, Алексей Викторович Куров Указом Президента Российской Федерации удостоен государственной награды – ордена Мужества (посмертно).
На здании Татевской школы в Оленино Тверской области открыта мемориальная доска герою.