Проживал в городе Магадане. Окончил профессиональный лицей № 1 в городе Магадане.
Погиб в районе города Угледара Донецкой Народной Республики в ходе проведения специальной военной операции, по словам очевидцев, 27 января 2023 года. Официальная дата смерти 18 июля 2025 года.
Похоронен на мемориальной аллее погибших участников специальной военной операции на кладбище на 14-м км федеральной автодороги «Колыма» в городе Магадане.
Согласно документу Указом Президента Российской Федерации от 11 марта 2024 года награжден орденом Мужества.
Кваст Михаил. – Текст. Изображение : электронные // Магадан СВО : цифровой мемориал погибших жителей г. Магадана и области, участников СВО : [группа социальной сети Telegram]. – URL: https://t.me/MagadanRIP/22 (дата обращения: 22.07.2025).
Павшие герои Освободительного похода (Магадан) : [в том числе Михаил Кваст]. – Текст. Изображение : электронные // LiveJournal : [сайт]. – URL: https://yadocent.livejournal.com/1597328.html (дата обращения: 22.07.2025).
Под Угледаром погиб наш земляк, магаданец Михаил Кваст – хороший человек, отличный и верный друг, энтузиаст и настоящий патриот. – Текст. Изображение : электронные // Kolyma.ru : [сайт]. – URL: https://kolyma.ru/news/main1/113717-pod-ugledarom-pogib-nash-zemlyak-magadanec-mihail-kvast-horoshiy-chelovek-otlichnyy-i-vernyy-drug-entuziast-i-nastoyaschiy-patriot.html (дата обращения: 16.07.2025).