Леонид Эрикович Шаршуков родился 4 ноября 1988 года в городе Магадане. Учился в общеобразовательной школе № 20 поселка Сокол (пригород Магадана).
После окончания школы в 2006 году поступил в Дальневосточное высшее командное училище (военный институт) имени Маршала Советского Союза К. К. Рокоссовского, которое окончил в 2010 году.
После учебы получил назначение в Сибирский военный округ на должность командира мотострелкового взвода 37-й отдельной гвардейской мотострелковой Будапештской Краснознаменной, ордена Красной Звезды Донской казачьей бригады имени Е. А. Щаденко, дислоцирующейся в городе Кяхте Республики Бурятия. 15 июля 2013 года назначен на должность командира мотострелковой роты той же части, позже стал заместителем начальника штаба мотострелкового батальона мотострелковой бригады.
С 5 декабря 2017 года выполнял специальные задачи в составе группировки войск Вооруженных сил Российской Федерации в Сирийской Арабской Республике.
В 2022 году Леонид Шаршуков отправился на специальную военную операцию в должности начальника оперативного отделения штаба 37-й отдельной гвардейской мотострелковой Будапештской Краснознаменной, ордена Красной Звезды Донской казачьей бригады имени Е. А. Щаденко.
2 мая 2022 года в ходе боевых действий получил осколочное ранение в голову, скончался 9 мая 2022 в Военно-медицинской академии Санкт-Петербурга.
За мужество, проявленное в ходе специальной военной операции, Леонид Эрикович Шаршуков Указом Президента Российской Федерации удостоен государственной награды – ордена Мужества (посмертно).
5 мая 2023 года на фасаде общеобразовательной школы № 20 поселка Сокол установлена мемориальная доска герою.