Родился в с. Андрушки ныне Попельнянского района Житомирской области (Украина) в семье крестьянина. Работал котельщиком сахарного завода в родном селе. В июле 1941 г. призван в Красную армию. В боях Великой Отечественной войны с февраля 1942 г. 24 сентября 1943 г. 3-я рота 198-го гвардейского полка под командованием старшего лейтенанта Закутенко первой в полку преодолела реку Днепр, захватила плацдарм и, отразив в течение дня семь массированных контратак противника, удержала его до наведения переправы и подхода основных сил. Даже будучи тяжело ранен, Закутенко не покинул поле боя.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 октября 1943 г. «за успешное форсирование реки Днепр южнее Киева, прочное закрепление плацдарма на западном берегу реки Днепр и проявленные при этом отвагу и геройство» гвардии старшему лейтенанту Закутенко Н. Ф. присвоенное звание Героя Советского Союза с вручение ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 2011). В 1965 г. в звании подполковника служил в г. Анадыре на Чукотке. С 1972 г. – в запасе. Жил в Киеве. Награжден орденами Ленина, Отечественной войны I степени, Красной Звезды, медалями.